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Modélisation

Objectifs

A la fin de ce module, l'étudiant devra avoir compris :
Sur quelques exemples simples, le passage d'un problème issu de la physique ou de la finance à un modèle mathématique, formulé en termes de modèle algébrique approché
(obtenu par moindres carrés, splines, optimisation paramétrique) ou d'équations aux dérivées partielles (EDP).
Il devra avoir compris les notions et méthodes suivantes :
La notion d'optimisation fonctionnelle, les fonctions définies par morceaux ; la continuité Ck ; les fonctions spline cubiques naturelles et leurs représentations globale et locale.
La solution approchée d'un système linéaire surdéterminé, les valeurs singulières d'une matrice, la notion de compacité d'un opérateur linéaire, la notion de stabilité et de régularisation d'un problème inverse linéaire, la régularisation par le principe du maximum a posteriori.
La méthode de Fourrier (décomposition en série de fonctions orthogonales) pour la résolution des EDP linéaires paraboliques en domaine borné.
Les principes de base de la méthode des différences finies (ordre d'un schéma,stabilité par la méthode de Von Neumann, convergence).
La définition formelle du mouvement Brownien et le principe de la méthode de Monte-Carlo pour la résolution numérique des EDP linéaires.
Les notions de stabilité et de robustesse d'un modèle ou d'une méthode numérique.
L'étudiant devra être capable de :
-Modéliser un problème simple (approximation spline, optimisation paramétrique,EDP).
-Déterminer et calculer les spline d'interpolation et d'ajustement de n points.
-Vérifier l'homogénéité d'une formule mathématique.
-Résoudre un système linéaire surdéterminé ou sous-déterminé.
-Exploiter la SVD pour analyser un problème linéaire.
-Identifier et régulariser un problème inverse mal posé.
-Le résoudre, par des techniques directes (e.g. déconvolution en Fourier) ou des techniques d'algèbre linéaire (e.g. gradient conjugué).
-Appliquer la méthode des différences finies pour résoudre une équation aux dérivées partielles linéaire parabolique
-Appliquer la méthode de Monte-Carlo pour résoudre une équation aux dérivées partielles linéaire parabolique
-Analyser la stabilité et la consistance d'un schéma aux différences finies.

Evaluation

L'évaluation des acquis d'apprentissage est réalisée en continue tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs...