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Introduction au calcul stochastique, statistique des processus et application au modèle de Black-Scholes

Objectifs

I) Finance :

Les méthodes fondamentales du calcul d'Itô pour les martingales continues, ainsi que leur application aux modèles de marchés financiers à temps continu tel que le modèle de Black-Scholes.

L'étudiant devra être capable de :

- Maitriser les outils fondamentaux de la théorie du calcul d'Itô.
- Maitriser les notions fondamentales de la finance de marché en temps continu telles que la notion de portefeuille, d¿arbitrage, de mesure martingale équivalente, et de marché complet.
- Mettre en œuvre un calcul de prix de produit dérivé de type européen pour des modèles de marché tels que celui de Black-Scholes.

II) Statistiques des processus :

L'objectif de cette partie est de comprendre la pertinence des Equations Différentielles Stochastiques (EDS) classiques régissant les différents modèles financiers, ainsi que l'intérêt d'estimer les paramètres sous-jacents.

L'étudiant devra être capable de :

- Résoudre explicitement les EDS classiques apparaissant en finance mathématique.
- Procéder à l'estimation statistique des paramètres régissant ces modèles, en particulier l'estimation par maximum de vraisemblance.
- Démontrer les différentes propriétés de ces estimateurs, notamment à travers l'étude des théorèmes limites pour les diffusions markoviennes.
- Discrétiser une EDS par schéma d'Euler.

Pré-requis

- Cours Martingales, Monte Carlo GMM4 (I4MMSP21)
- Cours Séries temporelles et mathématiques financières (I4MMSP41)

Evaluation

L'évaluation des acquis d'apprentissage est réalisée en continu tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs...

Bourse

- Shreve E. Steven, Stochastic calculus for Finance II : Continuous-time models, Springer, 2013, ISBN-10: 144192311X, ISBN-13: 978-1441923110

- Lamberton Damien et Lapeyre Bernard, « Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, Second Edition » (dipsonible également en Français), Chapman and Hall/CRC, 2007, ISBN-10: 1584886269, ISBN-13: 978-1584886266.

- Le Gall Jean-François, «Mouvement Brownien, Martingales Et Calcul Stochastique », Sringer, 2016, ISBN-10: 3319310887, ISBN-13: 978-3319310886.