Programme (contenu détaillé) :
– Processus stochastiques à temps continu et martingales. Introduction aux temps d¿arrêts.
– Construction du mouvement brownien et de l’intégrale stochastique puis dérivation de la formule d’Itô.
– Introduction aux équations différentielles stochastiques (EDS) puis dérivation des équations de Fokker-Planck.
– Résolution d’une équation parabolique à l’aide d’une solution d’EDS.
– Résolution d’un problème de Dirichlet à l’aide du mouvement brownien.
– Théorème de Girsanov.
– Ergodicité des processus de Markov.
– Estimation par maximum de vraisemblance de paramètres issus d’une EDS.
Calcul Stochastique
Description
Objectifs
A la fin de ce module, l'étudiant(e) devra avoir compris et pourra expliquer (principaux concepts) : - Le mouvement brownien ainsi que l'intégrale de Wiener et la formule d'Itô. - Faire du calcul stochastique en mettant en œuvre la formule d'Itô.
- La relation entre une équation différentielle stochastique et son équation de Fokker-Planck.
- La formulation d'une solution d'EDP parabolique ou elliptique à l'aide d'un processus stochastique bien choisi.
- L'estimation par maximum de vraisemblance de paramètres dans une équation différentielle stochastique.
L'étudiant(e) devra être capable de :
- Mettre en œuvre numériquement la résolution d'une équation parabolique ou elliptique à l'aide d'une méthode probabiliste basée sur des solutions d'équations différentielles stochastiques.
- Utiliser le théorème de Girsanov combiné aux résultats d'ergodicité des processus de Markov afin d'estimer des paramètres par maximum de vraisemblance dans des équations différentielles stochastiques.
Pré-requis
Compléments de probabilités (3A), Probabilités avancées (4A).
Évaluation
L’évaluation des acquis d’apprentissage est réalisée en continu tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs…
En bref
Crédits ECTS :
Nombre d’heures :
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