-Outils de base pour résoudre les problèmes inverses (avec exemples) : moindres carrés (linéaires, non linéaires), régularisation.
-Principes de l’assimilation de données (variationnelle, séquentielle).
-Analyse bayésienne.
-Équivalences entre le filtre BLUE-Kalman, le MAP et l’assimilation variationnelle dans le cas linéaire-quadratique-gaussien.
-Application à l’identification de modèles en mécanique expérimentale : (i) calcul des mesures à partir de l’enregistrement d’images et (ii) assimilation de données pour calibrer les lois constitutives.
-Contrôle optimal des EDO. Cas linéaire-quadratique, principe du maximum, hamiltonien.
Petit TP : contrôle optimal de la trajectoire d’un véhicule.
-Contrôle optimal des EDP. Calcul du gradient, modèle adjoint, système d’optimalité.
-Assimilation variationnelle des données (cas stationnaire et instationnaire). Algorithmes (3D-VAR, 4D-Var, variantes).
– Exemples, aspects pratiques.
– AD par réseaux neuronaux informatisés par la physique (PINN).
– TP : estimation de la bathymétrie d’une rivière à partir de mesures de la surface de l’eau (problème issu de l’hydrologie spatiale).
Modèles de circulation océanique
-Equations de la mécanique des fluides en géosciences, Solutions d’équilibre
-Equations en eaux peu profondes: dérivation, étude de la propagation des ondes. Applications: ondes de gravité, ondes de Poincaré, ondes de Kelvin
-Equations quasi-géostrophiques: dérivation, propagation des ondes. Applications: Gulf Stream, ondes de Rossby.
Objectifs
A la fin de ce module, l’étudiant.e devra avoir compris et pourra expliquer (principaux concepts) :
-Les outils de base pour analyser et résoudre des problèmes inverses.
- Comment fusionner les mesures (ensembles de données) et des modèles basés sur des EDP.
- Mettre en place le contrôle optimal d'un système (sur base d’EDOs et EDPs).
- Calculer le gradient d'une sortie de modèle (fonction coût) dans des cas de grande dimension (méthode de l’adjoint).
- Mettre en place un algorithme de type contrôle pour identifier les paramètres incertains et/ou calibrer un modèle (assimilation variationnelle, 4D-Var).
- Expliquer les liens et les différences entre l'assimilation variationnelle desdonnées, les filtres (Kalman, etc.) et les estimations bayésiennes.
- Expliquer ce qu'est un réseau neuronal informatisé par la physique (PINN).
- Ecrire l’adimensionnement d’un système d’EDP, et maitriser l’usage des unités présentes dans un système d’EDP
- Mener une étude de la dynamique d’un système d’EDP linéarisé à l’aide de calculs de relations de dispersion
L’étudiant.e devra être capable de :
-Mettre en place la chaîne complète pour réaliser l'identification des paramètres ou la calibration d’un modèle par assimilation variationnelle des données (4D-Var).
-Mettre en place un PINN pour atteindre les mêmes objectifs que ci-dessus.
Pré-requis
Calcul différentiel, optimisation numérique, bases de l'analyse fonctionnelle et des modèles de mécaniques, modèles classiques d'EDP (formes faibles et schémas EF sont un plus), programmation Python.
Évaluation
L’évaluation des acquis d’apprentissage est réalisée en continu tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs…
