Chapitre 1 – Introduction aux EDP et classification –
Pré-requis en algèbre linéaire, en intégration, en résolution d’équations différentielles ordinaires, en fonctions à plusieurs variables ; Terminologie et Exemples d’EDP ; Classification des EDP linéaires d’ordre 2.
Chapitre 2 – Séries de Fourier –
Motivation physique ; Espace des fonctions périodiques de carré intégrable ; Séries trigonométrique ; Coefficient de Fourier ; Série de Fourier dans L^1 (Thm de Dirichlet) puis dans L^2 (Identité de Parseval).
Chapitre 3 – Transformée de Fourier –
Analyse et Synthèse de la transformée de Fourier sur L^1, propriétés algébriques et de dérivation, Tf inverse et Formule de Plancherel, Convolution ; TF sur L^2 et exemples illustratifs.
Chapitre 4 – Théorie de Sturm Liouville –
Définition, exemples et propriétés des solutions.
Chapitre 5 – Résolution d’EDP par séparation des variables –
Problème bien posé et Conditions aux limites ; Équation de la chaleur 1D homogène ; Équation des ondes 1D homogène ; Généralités sur la méthode de séparation des variables (Eq homogènes, puis avec terme source, puis avec conditions de bord non homogènes, et intérêt de la connaissance du problème de Sturm Liouville associé)
Il sera fourni aux étudiants un polycopié de cours, des énoncés de TD (puis leur corrigés) et de TP. Les TP seront réalisés sous Python
Objectifs
Cette UE a pour objectif de maîtriser quelques concepts mathématiques de base pour l’étude des équations aux dérivées partielles (EDP) par le futur ingénieur en Génie Civil ou Génie Mécanique. Cette UE est naturellement composée de connaissances académiques présentées en cours magistraux, et de savoirs faires calculatoires (étudiés en travaux dirigés) et numériques (mis en œuvre en travaux pratiques).
Les étudiants apprendront à identifier et classifier les EDP en fonction de leur nature (elliptiques, paraboliques, hyperboliques). Ils aborderont les concepts, propriétés et théorèmes de base concernant les séries de Fourier et les transformées de Fourier, qui sont des outils puissants pour résoudre des EDP, en particulier dans les domaines liés aux phénomènes périodiques et aux vibrations. Enfin, la séparation des variables, une technique classique et efficace pour résoudre certaines classes d'EDP, sera formalisée et étudiée. Cette méthode sera illustrée à travers plusieurs exemples concrets liés aux équations de type ondes (phénomène de vibration) ou chaleur (phénomène de diffusion).
Pré-requis
UE de mathématiques des années 1 et 2.
Plus spécifiquement :
- algèbre linéaire (Diagonalisation de matrices)
- intégration (changement de variable, Intégrations par parties)
- résolution d'équations différentielles ordinaires (polynôme caractéristique, solution de l'équation homogène et solution particulière...)
- fonctions à plusieurs variables (dérivation)
Évaluation
L’évaluation des acquis d’apprentissage est réalisée en continu tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs…
