Modélisation par EDP (équations non linéaires et en une dimension d¿espace)
1. Ecologie, Dynamique des populations, Epidémiologie (modèles de réaction-diffusion)
2. Trafic Routier, Ecologie (feux de forêt) (modèles de transport non linéaires)
3. Phénomènes ondulatoires (équations elliptiques)
Problèmes elliptiques : analyse et simulation
1. Formulation variationnelle : solutions faibles, dérivée faible, espaces de Sobolev
2. Méthode des éléments finis (en dimension 1 d’espace) : méthode de Galerkin, éléments P1 et P2, convergence et estimation d’erreur, propriétés qualitatives.
Problèmes hyperboliques : analyse et simulation
1. Méthode des caractéristiques, Solutions Faibles, chocs en temps fini, principe du maximum
2. Méthode des volumes finis (en dimension 1 d’espace) : schémas centrés, décentrés, principe du maximum discret, méthodes d’ordre 1 et 2.
Objectifs
A la fin de ce module, l'étudiant.e devra avoir compris et pourra expliquer (principaux concepts) :
- Les principaux modèles d'EDP pour la modélisation de phénomènes en biologie, épidémiologie, écologie, physique et sciences de l¿ingénieur.
- Les notions de dérivée faible et solutions faibles et les formulations variationnelles associées
- Les méthodes des éléments finis et des volumes finis : formulation, implémentation et convergence
L'étudiant.e devra être capable de :
- Écrire une formulation variationnelle d¿un problème d¿équations elliptiques
- Mettre en œuvre une méthode d¿éléments finis en une dimension d¿espace
- Resoudre des équations de transport scalaire par méthode des caractéristiques.
- Mettre en œuvre une méthode de volumes finis pour les équations hyperboliques en une dimension d¿espace
Liste des compétences :
1_1 Maitriser les concepts mathématiques et les outils calculatoires de l¿ingénieur
1_3 Mettre en place un raisonnement scientifique rigoureux et développer la capacité d¿abstraction
2_1 Maitriser les outils fondamentaux de l¿ingénieur mathématicien
2_2 Mettre en œuvre et valider des modèles mathématiques avancés et des solutions numériques adaptées
3_1 Formuler et modéliser des problèmes notamment dans les systèmes complexes
Pré-requis
Cours Équations différentielles ordinaires : modélisation par EDO, existence de solutions, étude qualitative, simulation numérique (convergence, stabilité, ordre de convergence)
Cours Introduction EDP1 (équations linéaires, résolution explicite, méthode des différences finies)
Évaluation
L’évaluation des acquis d’apprentissage est réalisée en continu tout le long du semestre. En fonction des enseignements, elle peut prendre différentes formes : examen écrit, oral, compte-rendu, rapport écrit, évaluation par les pairs…
